Ensembles finis Exemples

$\frac{1}{5} b + \frac{3}{4} b - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 1

Simplifiez $\frac{1}{5} b + \frac{3}{4} b - \frac{1}{8}$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $b$ .

$\frac{b}{5} + \frac{3}{4} b - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 1.1.2

Associez $\frac{3}{4}$ et $b$ .

$\frac{b}{5} + \frac{3 b}{4} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 1.2

Pour écrire $\frac{b}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{b}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 b}{4} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 1.3

Pour écrire $\frac{3 b}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{b}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 b}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $20$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{b}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{b \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{3 b}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 1.4.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{b \cdot 4}{20} + \frac{3 b}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 1.4.3

Multipliez $\frac{3 b}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{b \cdot 4}{20} + \frac{3 b \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 1.4.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{b \cdot 4}{20} + \frac{3 b \cdot 5}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{b \cdot 4 + 3 b \cdot 5}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Factorisez $b$ à partir de $b \cdot 4 + 3 b \cdot 5$ .

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Étape 1.6.1.1.1

Factorisez $b$ à partir de $b \cdot 4$ .

$\frac{b (4) + 3 b \cdot 5}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 1.6.1.1.2

Factorisez $b$ à partir de $3 b \cdot 5$ .

$\frac{b (4) + b (3 \cdot 5)}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 1.6.1.1.3

Factorisez $b$ à partir de $b (4) + b (3 \cdot 5)$ .

$\frac{b (4 + 3 \cdot 5)}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{b (4 + 15)}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 1.6.1.3

Additionnez $4$ et $15$ .

$\frac{b \cdot 19}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 1.6.2

Déplacez $19$ à gauche de $b$ .

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{8} \cdot (b + 1) + b$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{1}{8} b + \frac{1}{8} \cdot 1 + b$

Étape 2.1.2

Associez $\frac{1}{8}$ et $b$ .

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{b}{8} + \frac{1}{8} \cdot 1 + b$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $1$ .

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{b}{8} + \frac{1}{8} + b$

Étape 2.2

Pour écrire $b$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{b}{8} + b \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

Étape 2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1

Associez $b$ et $\frac{8}{8}$ .

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{b}{8} + \frac{b \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

Étape 2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{b + b \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

Étape 2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{b + b \cdot 8 + 1}{8}$

Étape 2.4

Déplacez $8$ à gauche de $b$ .

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{b + 8 b + 1}{8}$

Étape 2.5

Additionnez $b$ et $8 b$ .

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} > \frac{9 b + 1}{8}$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $b$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 3.1

Soustrayez $\frac{9 b + 1}{8}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{19 b}{20} - \frac{1}{8} - \frac{9 b + 1}{8} > 0$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{19 b}{20} + \frac{- 1 - (9 b + 1)}{8} > 0$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{19 b}{20} + \frac{- 1 - (9 b) - 1 \cdot 1}{8} > 0$

Étape 3.3.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{19 b}{20} + \frac{- 1 - 9 b - 1 \cdot 1}{8} > 0$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{19 b}{20} + \frac{- 1 - 9 b - 1}{8} > 0$

Étape 3.4

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{19 b}{20} + \frac{- 9 b - 2}{8} > 0$

Étape 3.5

Pour écrire $\frac{19 b}{20}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{19 b}{20} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 9 b - 2}{8} > 0$

Étape 3.6

Pour écrire $\frac{- 9 b - 2}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{19 b}{20} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 9 b - 2}{8} \cdot \frac{5}{5} > 0$

Étape 3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $40$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.7.1

Multipliez $\frac{19 b}{20}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{19 b \cdot 2}{20 \cdot 2} + \frac{- 9 b - 2}{8} \cdot \frac{5}{5} > 0$

Étape 3.7.2

Multipliez $20$ par $2$ .

$\frac{19 b \cdot 2}{40} + \frac{- 9 b - 2}{8} \cdot \frac{5}{5} > 0$

Étape 3.7.3

Multipliez $\frac{- 9 b - 2}{8}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{19 b \cdot 2}{40} + \frac{(- 9 b - 2) \cdot 5}{8 \cdot 5} > 0$

Étape 3.7.4

Multipliez $8$ par $5$ .

$\frac{19 b \cdot 2}{40} + \frac{(- 9 b - 2) \cdot 5}{40} > 0$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{19 b \cdot 2 + (- 9 b - 2) \cdot 5}{40} > 0$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Multipliez $2$ par $19$ .

$\frac{38 b + (- 9 b - 2) \cdot 5}{40} > 0$

Étape 3.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{38 b - 9 b \cdot 5 - 2 \cdot 5}{40} > 0$

Étape 3.9.3

Multipliez $5$ par $- 9$ .

$\frac{38 b - 45 b - 2 \cdot 5}{40} > 0$

Étape 3.9.4

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{38 b - 45 b - 10}{40} > 0$

Étape 3.9.5

Soustrayez $45 b$ de $38 b$ .

$\frac{- 7 b - 10}{40} > 0$

Étape 3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 b$ .

$\frac{- (7 b) - 10}{40} > 0$

Étape 3.11

Réécrivez $- 10$ comme $- 1 (10)$ .

$\frac{- (7 b) - 1 (10)}{40} > 0$

Étape 3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 b) - 1 (10)$ .

$\frac{- (7 b + 10)}{40} > 0$

Étape 3.13

Réécrivez $- (7 b + 10)$ comme $- 1 (7 b + 10)$ .

$\frac{- 1 (7 b + 10)}{40} > 0$

Étape 3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7 b + 10}{40} > 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- \frac{7 b + 10}{40} > 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{7 b + 10}{40} > 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- \frac{7 b + 10}{40}}{- 1} < \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{7 b + 10}{40}}{1} < \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2.2

Divisez $\frac{7 b + 10}{40}$ par $1$ .

$\frac{7 b + 10}{40} < \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\frac{7 b + 10}{40} < 0$

Étape 5

Multipliez les deux côtés par $40$ .

$\frac{7 b + 10}{40} \cdot 40 < 0 \cdot 40$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun de $40$ .

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Étape 6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 b + 10}{40} \cdot 40 < 0 \cdot 40$

Étape 6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$7 b + 10 < 0 \cdot 40$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Multipliez $0$ par $40$ .

$7 b + 10 < 0$

Étape 7

Résolvez $b$ .

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Étape 7.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’inégalité.

$7 b < - 10$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $7 b < - 10$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $7 b < - 10$ par $7$ .

$\frac{7 b}{7} < \frac{- 10}{7}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 b}{7} < \frac{- 10}{7}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b < \frac{- 10}{7}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$b < - \frac{10}{7}$

Étape 8

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - \frac{10}{7})$

Étape 9